等價關系

1、,,引例,請判斷上述關系具備哪些性質(zhì)？,自反、對稱、傳遞,自反、反對稱、傳遞,5.5 等價關系基礎,,5.5 等價關系基礎,,5.5.2等價關系,Def 對于集合A上的關系R，若R具有自反、對稱和傳遞性，則稱R為等價關系。,若(a,b)∈等價關系R，則稱a與b等價，記作a～b。,5.5.2等價關系,example,1)在一群人的集合上, 年齡相等的關系是否為等價關系？ 朋友關系是否是等價關系？2)在動物

2、集合上，“具有相同種屬”的關系是否為等價關系？3)集合上的對角關系是否是等價關系?4)在同一平面上三角形的相似關系是等價關系？ 直線之間的平行關系是等價關系？,Y,N（傳遞性）,Y,Y,Y,N（自反，傳遞）,5.5.2等價關系,More example,5.5.2等價關系,當我們僅關心一個整數(shù)被3整除的余數(shù)時，我們只需要知道它在哪個分支而不必知道它的特定值。,5.5.2等價關系,這些獨立的分支如何描述呢？

3、 ——等價類,5.5 等價關系基礎,,5.5.3等價類,Def 設R是集合A上的等價關系，稱與A中元素a有關系的所有元素組成的集合為a的等價類。a的關于R的等價類記作,即[x]R={y|y?A?xRy},[x]R，簡記為[x].,Eg. 對剛才mod3的等價關系R={,,,,,,,, ,,,,,,, ,,,,,,} [

4、1]={1,4,7}, [2]={2,5,8}, [3]={3,6}, [4]={1,4,7},[5]={2,5,8}, [6]={6,3}, [7]={1,4,7}, [8]={2,5,8}.發(fā)現(xiàn)什么特點沒有？,有等價關系的兩元素的等價類相同！,5.5.3等價類,等價類的特征：設R是非空集合A上的等價關系,對任意的x,y，則 （1）[x]??,且[x]?A; （2）若xRy

5、,則[x]=[y]；,[1]={1,4,7}, [2]={2,5,8}, [3]={3,6}, [4]={1,4,7},[5]={2,5,8}, [6]={6,3}, [7]={1,4,7}, [8]={2,5,8}.,考察集合{[x]|x?A}?——{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}},可看作集合A的一種劃分,5.5.4等價類與劃分,,Def 劃分的概念,5.5.4等價類與劃分,非