重積分的計(jì)算方法數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

1、<p><b>　　重積分的計(jì)算方法</b></p><p>　　摘要：本文介紹了幾種重積分的計(jì)算方法，著重從累次積分的計(jì)算、變量代換等方法闡述二重積分的計(jì)算，同時(shí)介紹了一類特殊的二重積分的計(jì)算方法，并由二重積分的計(jì)算方法推廣到三重積分的計(jì)算。</p><p>　　關(guān)鍵詞：二重積分，三重積分，變量代換，對(duì)稱法</p><p>　　引言

2、：重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)（三元函數(shù)）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分）。我個(gè)人在學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)多重積分這一塊時(shí)，感到多重積分的計(jì)算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應(yīng)用。通過(guò)在圖書(shū)館查閱資料、以及老師的指點(diǎn)，重積分的計(jì)算方法還是有規(guī)律可循的。為了更好的應(yīng)用重積分，本人結(jié)合前人的經(jīng)驗(yàn)，在這里系統(tǒng)介紹幾種常用的重積分計(jì)算方法，以及一些小技巧。著重

3、介紹累次積分的計(jì)算與變量代換。</p><p><b>　　二重積分的計(jì)算</b></p><p><b>　　常用方法</b></p><p><b>　　化累次積分計(jì)算法</b></p><p>　　對(duì)于常用方法我們先看一個(gè)例子（北京師范大學(xué)，2002年）</p>

4、;<p>　　計(jì)算二重積分，其中為區(qū)域</p><p>　　解：如圖1所示可分為</p><p><b>　　在內(nèi)，在內(nèi) </b></p><p>　　對(duì)于重積分的計(jì)算主要采用累次積分法，即把一個(gè)二重積分表達(dá)為一個(gè)二次積分，通過(guò)兩次定積分的計(jì)算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下：</p><

5、;p>　　第一步：畫(huà)出積分區(qū)域的草圖；</p><p>　　第二步：按區(qū)域和被積函數(shù)的情況選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；</p><p>　　第三步：計(jì)算累次積分。</p><p>　　需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是，累次積分要選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序。積分次序的不同將影響計(jì)算的繁簡(jiǎn)，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對(duì)一種次序可以“積出來(lái)”，而對(duì)另一種次序

6、卻“積不出來(lái)”。所以，適當(dāng)選擇積分次序是個(gè)很重要的工作。</p><p>　　選擇積分次序的原則是：盡可能將區(qū)域少分塊，以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；第一次積分的上、下限表達(dá)式要簡(jiǎn)單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。</p><p>　　計(jì)算，是由 圍成的區(qū)域</p><p>　　解：先畫(huà)出區(qū)域的圖形，如圖2</p><p>　　先對(duì)后對(duì)積分，則

7、由知</p><p>　　如果先對(duì)后對(duì)積分，由于不能用初等函數(shù)表示，這時(shí)重積分“積不出來(lái)”。</p><p>　　更換積分次序的理論依據(jù)是什么呢？</p><p>　　對(duì)于給定一個(gè)二重積分，若分別把它化為積分次序不同的二次積分而得下列等式： ①</p><p><b>　?、?lt;/b></p>&

8、lt;p><b>　　則顯然有③</b></p><p>　　如果首先給出③式中的一個(gè)二次積分（例如左端），而此時(shí)又無(wú)法計(jì)算結(jié)果或比較麻煩，則我們可以寫(xiě)出③式中的另一個(gè)二次積分（例如右端），這時(shí)重積分重要問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為更換積分次序問(wèn)題。</p><p>　　例3．試更換的積分次序</p><p>　　解：把先對(duì)積分更換為先對(duì)積分</p

9、><p>　　由原累次積分的上、下限可得</p><p><b>　　，即</b></p><p>　　由的聯(lián)立雙邊不等式可畫(huà)出域的圖形，如圖3</p><p>　　再由圖形寫(xiě)出先對(duì)的積分域的聯(lián)立雙邊不等式，為此，作平行于軸的箭頭穿區(qū)域，知先對(duì)后對(duì)積分必須將分為和，其中</p><p><b&g

10、t;　　，如圖4</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　對(duì)上面的例題可得更換積分次序的一般步驟為：</p><p>　　ⅰ.由原累次積分的上、下限列出表示積分域的聯(lián)立雙邊不等式，例如</p><p>　?、?根據(jù)上列聯(lián)立雙邊不等式畫(huà)出區(qū)域的圖形</p><p&

11、gt;　?、?按新的累次積分次序，列出與之相應(yīng)的區(qū)域的聯(lián)立雙邊不等式</p><p>　?、?按3中的不等式組寫(xiě)出新的累次積分的表達(dá)式。</p><p>　　關(guān)于這方面的應(yīng)用我們?cè)倏匆粋€(gè)例子。</p><p>　　例4．（華中理工大學(xué),2000年）設(shè)在上連續(xù)，證明</p><p>　　證：改變積分順序得：</p><p&g

12、t;<b>　　變量替換法</b></p><p>　　在計(jì)算定積分時(shí)，求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。從而適當(dāng)?shù)乩脫Q元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。</p><p>　　在計(jì)算重積分時(shí)，求積的困難來(lái)自兩個(gè)方面，除了被積函數(shù)的原因以外還在于積分區(qū)域的多樣性。而且，有時(shí)候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。為此，針對(duì)不同的區(qū)域要討

13、論重積分的各種不同算法。</p><p>　　例4．（湖北大學(xué)2002年，中南礦治學(xué)院）求，其中</p><p><b>　　解：令，即</b></p><p><b>　　則變成了</b></p><p>　　可以說(shuō)變量替換法步驟如下：</p><p>　　若可微分的連續(xù)函

14、數(shù)把上的有限區(qū)域單值唯一地映射平面上的域及雅哥比式則下之公式正確</p><p>　　設(shè)廣義極坐標(biāo)變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則特別，當(dāng)時(shí)，公式變?yōu)椋骸獦O坐標(biāo)變換公式</p><p>　　計(jì)算二重積分時(shí)，要從被積函數(shù)和積分域兩個(gè)方面來(lái)考慮如何適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系，如能采用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，往往可以收到事半功倍的效果。從積分域來(lái)考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形

15、可以選用極坐標(biāo)系。關(guān)于這方面的應(yīng)用我們看下面的例子：</p><p>　　例5．將連續(xù)函數(shù)在兩圓和 之間的環(huán)形區(qū)域上之二重積分化為二次積分。</p><p>　　解：先畫(huà)出域的圖形，如圖5</p><p>　　若用直角坐標(biāo)，則需將分為四個(gè)區(qū)域：</p><p>　　如圖5所示，所以，在上的積分</p><p><

16、b>　　若用極坐標(biāo)，有</b></p><p>　　顯然，極坐標(biāo)系下運(yùn)算比較方便。</p><p><b>　　對(duì)稱法</b></p><p>　　對(duì)稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分。</p><p>　　在做題時(shí)，先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無(wú)對(duì)稱性，有時(shí)一看就知道積分為零，有時(shí)可使積分化簡(jiǎn)。否則

17、的話，就會(huì)把時(shí)間花在無(wú)謂的計(jì)算上，有時(shí)不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無(wú)得”。</p><p>　　利用區(qū)域和被積函數(shù)對(duì)稱性簡(jiǎn)化積分的方法可以總結(jié)為：</p><p>　　設(shè)域關(guān)于軸對(duì)稱，軸上方部分為，下方為，當(dāng)把中的看作常數(shù)時(shí)，若是的奇函數(shù)，則。當(dāng)把中的看作常數(shù)時(shí)，若是的偶函數(shù)，則</p><p>　　設(shè)域關(guān)于軸對(duì)稱，軸右邊的部分為,左邊的部分為，當(dāng)把中的看作

18、常數(shù)時(shí)，若是的奇函數(shù)，則；當(dāng)把中的看作常數(shù)時(shí)，若是的偶函數(shù)，則</p><p>　　我們只對(duì)第一個(gè)結(jié)論的前一部分做個(gè)簡(jiǎn)單的證明：</p><p>　　例6．計(jì)算重積分，其中為兩種形式：是由所構(gòu)成；是關(guān)于軸對(duì)稱的平面凸域，其邊界為和，如圖6</p><p>　　解：其中利用了當(dāng)時(shí)，，又</p><p><b>　　再看一個(gè)例子<

19、/b></p><p>　　例7．（武漢大學(xué)，1992年）計(jì)算下列積分（1），其中為常數(shù)，；（2），其中為直線與曲線圍成的有界區(qū)域。</p><p>　　解：（1）（2）由對(duì)稱性及被積函數(shù)為關(guān)于的偶函數(shù)</p><p><b>　　特例</b></p><p>　　當(dāng)積分區(qū)域是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含 的函數(shù)

20、和只含的函數(shù)相乘時(shí)二重積分可作兩個(gè)定積分相乘，即</p><p>　　根據(jù)這一性質(zhì)，其中這是一個(gè)比較特殊的例子，也是重積分與單積分的互換。</p><p>　　例8．（武漢大學(xué)，1995年）設(shè)在上連續(xù)，證明：，其中為以為頂點(diǎn)的三角區(qū)域。</p><p><b>　　證：如圖示</b></p><p><b>　

21、　令，即，則</b></p><p><b>　　變成</b></p><p>　　注意到二重積分的值與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，</p><p><b>　　三重積分</b></p><p>　　三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計(jì)算也是化為累次積分，適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換可使三

22、重積分容易計(jì)算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應(yīng)用對(duì)稱法計(jì)算，即一般地，若區(qū)域關(guān)于z平面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于 是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地還可推出其它各種對(duì)稱情況的三重積分。</p><p>　　計(jì)算三重積分的一般步驟為：</p><p><b>　　畫(huà)出空間域的草圖；</b></p><p>　　根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

23、和累次積分的次序，并將域用相應(yīng)的雙邊不等式組表示；</p><p>　　完成累次積分的計(jì)算。</p><p>　　這里，畫(huà)好圖形是計(jì)算的關(guān)鍵，因?yàn)榉e分變量變化的范圍就是從圖形上看出來(lái)的，于是也就順利地寫(xiě)出了積分限。其中柱坐標(biāo)系中的定限化為平面直角坐標(biāo)系的定限，球坐標(biāo)中定限化為平面極坐標(biāo)系的定限。</p><p>　　可以說(shuō)，三重積分的計(jì)算方法可由二重積分推廣過(guò)來(lái)，不

24、再累述。</p><p>　　我們有一般的，在不同坐標(biāo)中域的表達(dá)式和相應(yīng)的積分表達(dá)式引用下表示：</p><p>　　選擇在哪種坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分，要以被積函數(shù)和積分域的情況這兩個(gè)方面全面考慮，若僅從積分域的角度考慮，三種坐標(biāo)系下的情況分別為：</p><p><b>　　結(jié)語(yǔ)</b></p><p>　　綜上所述，重

25、積分的計(jì)算的方法是有規(guī)律可循的。總體上，重積分的主要計(jì)算思路是先化重積分為累次積分，難點(diǎn)是積分區(qū)域的分塊、積分上下限的確定、積分次序的互換以及利用變量代換是重積分簡(jiǎn)化。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]錢(qián)吉林等主編.《數(shù)學(xué)分析解題精粹》[M]，第2版，武漢：崇文書(shū)局，2003年8月：P486-P498，P508</p&g

26、t;<p>　　[2]丁家泰.《微積分解題方法（續(xù)）》[M]，北京：北京師范大學(xué)出版社，1985年12月第一版：P382</p><p>　　[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》[M]，高等教育出版社，2001年6月第3版</p><p>　　[4]郝涌、盧士堂主編.《考研數(shù)學(xué)精解》[M]，華中理工大學(xué)出版社，1999年3月第1版</p><p>

27、　　HEAVY TOTAL MARK COMPUTING TECHNOLOGY</p><p>　　Abstract：This text introduce several serious computing technology of total mark, explain dual calculation of integration from tired times of calculation, vari

28、able person who replace method of total mark emphatically, introduced a kind of special dual total mark computing technology at the same time , and popularize the calculation to the triple total mark from the dual total